「句読点」を書いてはいけないというのは本当か

はい、本来のお祝い事の挨拶状には句読点（「、」や「。」）を打たないのが正式なマナーです。

「お祝い事に区切りをつけない」「縁を切らない（終わらせない）」という意味を込めて、句読点を使わずにスペース（一マス空ける）や改行で文章を整えるのが古くからの慣習です。
親しい間柄であればそこまで厳格ではありませんが、ビジネス関係や目上の人に送る場合は、句読点を控えるのが無難です。
詳しくは『年賀状の常識・マナー』をご覧ください。